FUNGSI TRENSENDEN

13 August 2016 11:44:54 Dibaca : 707 Kategori : TUGAS CAMPUS

KATA PENGANTAR
Segala puji bagi Allah SWT yang telah memberi nikmat serta hidayah-Nya terutama nikmat kesempatan dan kesehatan sehingga penulis dapat menyelesaikan makalah mata kuliah KALKULUS II . Kemudi shalawat serta salam kita haturkan kepada junjungan kita Nabi besar Muhammad SAW yang telah memberikan pedeman hidup yakni Al-Qur’an dan Hadis untuk keselamatan umat di dunia.
Penulis menyadari behwa dalam proses penulisan makalah ini masih jauh dari kesempurnaan baik materi maupun cara penulisanya. Namun demikian, penulis telah berupaya dengan segala kemampuan dan pengetahuan yang telah dimiliki sehingga dapat selesai dengan baik dan oleh karenanya, penulis dengan rendah berterima kasih terhadap emua pihak yang telah membantu penulis sehingga dapat menyelesaikan makalah ini. Penulis beharap makalah ini dapat bermanfaat bagi seluruh pembaca.
Gorontalo Mei 2016

Penulis

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR i
DAFTAR ISI ii
BAB I PENDAHULUAN 1
1.1 Latar Belakang 1
1.2 Tujuan 1
1.3 Rumusan Masalah 1
BAB II PEMBAHASAN 2
2.1 Fungsi Logaritma Alami 2
2.2 Fungsi Eksponen Alami 5
2.3 Fungsi Eksponensial dan Logaritma Umum 7
BAB III PENUTUP 10
3.1 Kesimpulan 10
3.2 Saran 10
DAFTAR PUSTAKA

BAB I
PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang
Fungsi trasenden adalah fungsi yang bukan fungsi aljabar. Beberapa fungsi trasenden antara lain: a. Fungsi eksponensial, contohnya : f(x) = ax ; dimana a ≠ 0,1 0,1b. Fungsi logaritma, contohnya : f (x) = x log a ; dimana a c. Fungsi trigonometri, contohnya : f (x) = sin x d. Fungsi siklometri, merupakan invers dari fungsi trigonometri, contohnya : f (x) = arc sin x. e. Fungsi hiperbolik, contohnya : f (x) = sin h x Integral tak wajaR adalah limit dari integral tentu dengan batas pengintegralan mendekati bilangan riil tertentu, atau ∞ −∞ atau, pada beberapa kasus, keduanya. Dengan kata lain, integral tak wajar adalah limit dalam bentuk atau dalam bentuk dengan limit diambil pada salah satu batas atau keduanya. (Apostol 1967, §10.23). Integral takwajar juga dapat terjadi pada titik dalam domain pengintegralan, atau pada beberapa titik seperti itu. Integral takwajar sering perlu digunakan untuk menghitung nilai integral yang tidak ada dalam arti konvensional (misalnya sebagai integral Riemann), karena adanya singularitas pada fungsi yang hendak diintegralkan, atau salah satu batas adalah tak hingga.

1.2. Rumusan Masalah
Dalam tugas ini akan dibahas bebrapa masalah diantaranya :
a. Bagaimana cara menyelesaikan soal dengan fungsi logaritma alami?
b. Bagaimana cara menyelesaikan soal dengan fungsi eksponen alami ?
c. Bagaimana hubungan dari fungsi eksponen dan logaritma umum?

1.3. Tujuan Penelitian
Tujuan penelitiannya yaitu:
1. Mengetahui fungsi-fungsi yang ad dalam fungsi transenden .
2. Mengetahui dan memahami fungsi logaritma alami.
3. Mengetahui dan memahami fungsi eksponen alami dan logaritma umum
BAB II
PEMBAHASAN

2.1 FUNGSI LOGARITMA ALAMI
Logaritma alami adalah logaritma yang berbasis e, dimana e adalah 2.718281828459... (dan seterusnya). Logaritma natural terdefinisikan untuk semua bilangan real positif x dan dapat juga didefinisikan untuk bilangan kompleks yang bukan 0. Aturan pangkat, tidak dapat memberikan fungsi yang antiturunannya adalah 1/x. Tetapi, dengan menggunakan Teorema Dasar Kalkulus kitadapat mendefinisikan fungsi melalui integral yang turunannya adalah 1/x.Fungsi ini kita sebut logaritma natural dari x, ditulis ln x. Dapat dibuktikan, tapi tidak diberikan pada kuliah ini, bahwa fungsi ini sama dengan fungsi logaritma berbasis e yang telah kita kenal di SMA.
Turunan Fungsi Logaritma :

Dengan menggunakan Teorema Dasar Kalkulus kita peroleh bahwa

Secara umum, dengan menggunakan Dalil Rantai kita peroleh bahwa

Soal-soal :
3. Dx In (x2+ 3x + π)
Peny :
= 1/(x^2+3x+π ) . Dx (x2+ 3x + π) =(2x+3)/(x^2+3xπ)

7. dy/dx jika y =3 In x
Peny :
dy/dx=3. 1/x= 3/x

15. ∫ â–¡(1/(2x+1 )) dx
Peny :
Let u =2x+1 du =2 dx
∫ â–¡(1/(2x+1 )) dx= 1/(2 ) ∫â–’1/(u ) du
= 1/(2 ) In u + C
= 1/(2 ) In 2x+1 +C

19. ∫â–’â–ˆ((2 In x)/(x ) dx @ )
Peny :
Let u = In x du =1/(x ) dx
∫â–’â–ˆ((2 In x)/(x ) dx @ )=2∫ u^ du
= u^2+ C=(〖In x)〗^(2 )+C

27. 2 In (x+1)-In x
Peny :
2 In (x+1)-In x = In (x+1)2 – In x = In ((x+1)2 )/( x )

30. In (x2-9) -2 In (y-3) –In(x+3)
Peny :
In (x2-9) -2 In (y-3) –In(x+3)
= In (x^2-9 )/( (x-3)(x+3) ) = In 1/( x-3 )

32. y = (x2+3x)(x-2)(x2+1)
Peny :
y = (x2+3x)(x-2)(x2+1)
1/( y ) dy/dx=(2x+3)/(x^2+3x ) + 1/( x-2 )+ 2x/( x^2+1 )
dy/dx=(x2+3x)(x-2)(x2+1)[ (2x+3)/(x^2+3x ) + 1/( x-2 )+ 2x/( x^2+1 )]
= 5x4 + 4x3 -15x2 + 2x – 6

33. y = (√x +13)/( (x-4) ∛2x+1 )
Peny :
In y = 1/2 In(x+13)-In(x-4)-1/3 In(2x+1)
1/( y ) dy/dx = 1/( 2(x+13) )-1/( x-4 ) -2/( 3(2x+1) )
dy/dx = (√x +13)/( (x-4) ∛2x+1 ) [1/( 2(x+13) )-1/( x-4 ) -2/( 3(2x+1) )] = (10x^2+219x-118)/( 6(x-4)2(x+13)1/2(2x+1) )

2.2. FUNGSI EKSPONEN ALAMI

Jadi, y = ex adalah penyelesaian dari persamaan diferensial y’ = y. Jika u = f(x) terdiferensiasikan, maka Aturan Rantai menghasilkan :
Dxeu = eu Dxu

∫â–’e du = eu + C
Contoh Soal : Carilah Dxe√(x )
Peny : u =√(x ), maka :
Dxe√(x ) = e√(x ) Dx√x = e√x. 1/2 x-1/2 (e√x)/(2√x)
Soal-Soal :
sederhanakanlah !
5. In eCOS x
Peny : In eCOS x = cos x

9. eIn 3+2 In x
Peny :
eIn 3+2 In x = eIn 3. e2In x
= 3.eIn x2 = 3x2

11. y = ex+2
Peny :
Dxex+2 = ex+2 .Dx(x+2)
= ex+2

22. ex+y = 4 + x + y
Peny :
Dx[ex+y] = Dx[4 + x + y]
ex+y(1+Dxy) = 1+Dxy
xex+y + ex+y Dxy = 1+Dxy
ex+yDxy – Dxy = 1-ex+y
Dxy = (1-ex+y)/(ex+y-1) = -1

25. f(x) = e2x
Peny :
F(x) = e2x domain (-∞,∞)
F’(x) = 2e2x fn (x) = 4e2x

28. f(x) = ex + x
Peny :
f(x) = ex + x domain = (-∞,∞)
f’(x) ex + 1,,,,, fn(x) = ex

37. ∫â–’e^(3x+1) dx
Peny :
Let u = 3x + 1 du = 3 dx
∫â–’e^(3x+1) dx= 1/3 ∫â–’e^(3x+1) 3 dx
1/3 ∫â–’e^(u ) du = 1/3 e^(3x+1)+C

40. ∫ ex/(ex-1) dx
Peny :
Let u = ex-1 du = ex dx
∫ ex/(ex-1) dx = ∫â–’1/u du
In u + C = In ex-1 + C

2.3 . FUNGSI EKSPONENSIAL DAN LOGARITMA UMUM
Bentuk an disebuat sebagai bentuk eksponensial atau perpangkatan, dengan a disebut basis atau bilangan pokok dan n disebut eksponen atau pangkat. Sifat – sifat yang berlaku dalam bilangan berpangkat rasional diantaranya adalah sebagai berikut :
Perhatikan contoh soal berikut :
Hitunglah hasil perpangkatan (0,008)⋅²
jawab :
(0,008)⋅² = (1/125)⋅²
= (1/5³)⋅²
= (5⋅³)⋅²
= 5^6 = 15.625
Aturan fungsi trigonometri :
Dxax = ax In a
∫▒〖ax dx=(1/(In a ))ax+C , a≠1〗
Contoh : carilah dy/dx jika y = (x4 + 2)5 + 5x4+2
Peny : dy/dx = 5(x4 + 2)4 . 4x3 + 5x4+2 In 5. 4x3
= 4x3[5(x4+2)4 + 5x4+2 In 5]
= 20x 3 [(x4 + 2)4 + 5x4+1 In 5]

Soal-Soal :
5. 2 log9 (x/3) = 1
Peny : x/3=91/2 = 3
X = 9
8. log5 (x+3) – log5 x = 1
Peny : log5 (x+3)/(x )=1
(x+3)/(x ) = 51 = 5
14. 5x = 13
Peny : x In 5 = In 13
X = (In 13)/(In 5)≈1,5937
15. 52x-3 = 4
Peny : (2x-3) In 5 = In 4
2x-3 = (In 4)/(In 5)
x =1/(2 ) (3+ (In 4)/(In 5)) ≈1,9307

17. Dx (62x)
Peny : Dx (62x) = 62x In 6. Dx(2x)
= 2.62x In 6
23. ∫â–’x2x2 dx
Peny : let u = x2 du = 2x dx
∫▒〖x.2〗x2 dx = 1/(2 ) ∫â–’2 u du
1/(2 ).2u/(In 2) + C = (2x2 )/(2 In 2) + C = (2x2-1 )/( In 2)+ C

27. y = 10(x2) + (x2)10
Peny : d/(dx ) 10(x2) = 10(x2) In 10 d/(dx ) x2
10(x2) 2x In 10 =d/(dx ) (x2)10 =d/(dx ) x20 = 20 x19
dy/dx = d/(dx ) [10(x2) + (x2)10] = 10(x2) 2x In 10 + 20 x19
30. y = 2(ex) + (2e)x
Peny : d/(dx ) 2(ex) = 2(ex) In 2 d/(dx ) ex = 2(ex) ex In 2
d/(dx ) (2e)x = (2e)x In 2e = (2e)x e In 2
dy/dx = d/(dx ) [2(ex) + (2e)x] = 2(ex) ex In 2 + (2e)x e In 2

BAB III
PENUTUP
3.1. KESIMPULAN
Fungsi trasenden, teknik pengintegralan, dan integral memiliki keterkaitan antar satu sama lain. Hal ini karena terdapat suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan (hubungan fungsional). Dengan menggunakan teknik pengintegralan, kita dapat menemukan jawaban soal-soal integral tak wajar.
3.2. SARAN
Untuk memahami ketiga materi matematika tersebut, diperlukan dasar-dasar matematika yang kuat. Karena turunan dan integral yang terdapat dalam materi-materi ini termasuk ke dalam kalkulus.

DAFTAR PUSTAKA
Purcell, Edwin J. dan Dale Varberg.1994.Kalkulus dan Geometri Analitis.Jakarta: Erlangga
Valberg, Dale, dkk. 2007. KALKULUS Edisi kesembilan. Jakarta : ERLANGGA