Ada bermacam-macam metode pembuktian. Menurut wikipedia ada 14 metode pembuktian tetapi dari semua metode pembuktian yang ada, saya paling suka dengan metode perbuktian yang disebut “pembuktian dengan kontradiksi” (proof by contradiction). Berdasarkan pengalaman saya banyak teorema-teorema rumit yang dibuktikan melalui metode ini. Ide dasar dari metode pembuktian ini cukup simple. Kita ingin membuktikan suatu pernyataan P itu benar,? kita tinggal melihat negasi/ ingkaran dari P dinotasikan \neg P. Jika \neg P itu salah, mustahil atau menyebabkan pertentangan/kontradiksi dengan asumsi2 yang telah diketahui, itu berarti P benar. Dalam matematika jika \neg P salah maka dengan sendirinya P benar, tidak ada pilihan lain begitu juga sebaliknya.

Jadi ada 2 langkah untuk melakukan pembuktian pernyataan P dengan metode kontradiksi

Negasikan P dengan tepat
Tunjukan bahwa \neg P itu salah mustahil atau menyebabkan pertentangan/kontradiksi dengan asumsi2 yang telah diketahui.
Nah..sekarang kita masuk ke contoh aja yach

Teorema 1: Tidak ada ada bilangan asli n yang lebih besar dari semua bilangan bulat lainnya

Bukti

Apa ingkaran dari teorema 1? Ingkarannya adalalah

Bilangan n tersebut eksis.

Padahal menurut postulat peano, n+1 merupakan bilangan asli. Jadi negasi teorema 1 bertentangan dengan postulat peano maka bisa disimpulkan teorema 1 benar.

***

Contoh lainnya

Teorema 2: Semua bilangan real tak nol mempunyai invers perkalian yang tunggal

(Note: x dikatakan invers perkalian dari y jika xy=1)

Bukti:

Apa ingkaran dari teorema 2? Ingkarannya adalah

Ada bilangan real yang mempunyai invers perkalian yang tidak tunggal

Sebut saja bilangan tersebut x yang mempunyai 2 buah invers perkalian yang berbeda a dan b (a≠b). Diperoleh

ax=1 dan bx=1

ax=bx

bagi kedua sisi dengan x diperoleh

a=b

Padahal kita mensyaratkan a dan b berbeda. Jadi mustahil ada bilangan real yang memepunyai inver perkalian tak tunggal.

***

Implikasi

Jika pernyataan yang hendak kita buktikan berbentuk implikasi A\Rightarrow B maka negasinya \neg\left(A\Rightarrow B\right) ekuivalen dengan A\wedge\neg B, ini bisa kita cek melalui tabel kebenaran. Jadi untuk membuktikan pernyataan berbentuk implikasi A\Rightarrow B dengan metode kontradiksi, kita harus membuktikan A\wedge\neg B salah. Cara terbaik untuk menunjukan A\wedge\neg B salah adalah dengan mengasumsikan A benar lalu tunjukan A dan \neg B saling kontradiksi, saling bertentangan.

Sekarang kita masuk ke contoh yach

Teorema 3: Jika n^2 genap maka n genap.

Teorema 3 berbentuk implikasi dengan kaliamat A menyatakan n^2 genap dan kalimat B menyatakann genap

Bukti: Diketahui n^2 genap (kita asumsikan A benar)

Andaikan n ganjil (negasi dari B)

Karena n ganjil maka n bisa ditulis dengan bentuk

n=2m+1 dengan m bilangan bulat

Diperoleh

n^2=(2m+1)^2

n^2=4m^2+4m+1

n^2=2(2m^2+2m)+1

Itu berarti n^2=2(2m^2+2m)+1 ganjil. Kontradiksi dengan asumsi “n^2 genap” karena terjadi kontradiksoi maka dapat disimpulkan teorema 3 benar.

***

Contoh selanjutnya.

Teorema 4: Jika x rasional dan y irasional maka x+y irasional

Bukti

Diketahui x rasional dan y irasional

Andaikan x+y rasional

karena x rasional maka -x rasional pula. Penjumlahan 2 bilangan rasional adalah rasional, diperoleh

{\displaystyle \underbrace{\left(x+y\right)}_{\textrm{rasional}}+\underbrace{\left(-x\right)}_{\textrm{rasional}}=y}

Itu berari y rasional padahal diketahui y irasional. Terjadi kontradiksi maka teorema 4 benar.

Harus dinegasikan dengan tepat.

Seperti yang sudah saya katakan diatas, langkah pertama untuk melakukan metode pembuktian dengan kontradiksi adalah menegasikan pernyataan dengan tepat, karna kalau tidak tepat metode tersebut tidak berlaku. Contoh kasus penegasian yang tidak tepat, dilakukan oleh para penganut teori penciptaan (Creationism), mereka berpendapat bahwa teori penciptaan adalah negasi dari teori evolusi. Oleh karena itu mereka sekuat tenaga membuktikan evolusi itu salah, mereka berpendapat jika evolusi salah maka itu membuktikan penciptaan bener. Mereka membuktikan teori penciptaan dengan metode kontradiksi. Nah..sekarang pertanyaannya apakah teori penciptaan adalah negasi dari evolusi? apakah teori evolusi adalah ingkaran dari teori penciptaan?

Nah sekarang mari kita lihat teori penciptaan berkata “mahluk hidup dan segala jenisnya diciptakan oleh sang pencipta secara sempurna” jika kita negasikan maka menjadi “mahluk hidup dan segala jenisnya TIDAK diciptakan oleh sang pencipta secara sempurna”, apakah teori evolusi mengatakan seperti itu? TIDAK!!, evolusi tidak berbicara mengenai sang pencipta, tidak berbicara mengenai bagaimana mahluk hidup diciptakan tetapi berbicara mengenai perubahan sifat-sifat yang diwariskan dalam suatu populasi organisme dari satu generasi ke generasi berikutnya , tidak ada sangkut-pautnya dengan sang pencipta atau bagaimana mahluk hidup diciptakan. Jadi jika evolusi salah sekalipun itu sama sekali tidak membuktikan penciptaan karean evolusi bukanlah negasi dari penciptaan.

sumber