V. TEORI PELUANG

Pendahuluan

q Tugas statitiska baru dianggap selesai jika kita berhasil membuat kesimpulan dengan baik dan dapat dipertanggungjawabkan tentang sifat atau karakteristik populasi. Untuk itu membuat kesimpulan tentang populasi ini:

Umumnya penelitian dilakukan secara sampling.Jadi sampel yang representatif diambil dari populasi,Datanya dikumpulkan dan dianalisis.Kesimpulan yang dibuat, kebenarannya tidaklah pastii secara absolut, sehingga timbul persoalan bagaimana keyakinan kita untuk mempercayai kebenaran kesimpulan yang dibuat.

¨ Diperlukan teori baru yang disebut teori peluang.

q Bahasan teori peluang elementer tentang ukuran atau derajat ketidakpastian sesuatu peristiwa, yang diperlukan untuk uraian selanjutnya.

q Tujuan Instruksional Khusus (TIK):

Setelah mempelajari bab ini, diharapkan Saudara menjelaskan tentang teori elementer sebagi dasar untuk mempelajari materi selanjutnya.

Apa yang itu Peluang ?

q Menyatakan peristiwa akan digunakan huruf-huruf besar, A, B, C, … baik disertai indeks ataupun tidak. Misalnya : A berarti tidak ada kendaraan yang melalui tikungan selama satu jam, B berarti ada 10 kendaraan dalam satu jam yang melalui tikungan, dan sebagainya.

q Definisi: Dua peristiwa atau lebih dinamakan saling eksklusif jika terjadinya peristiwa yang satu mencegah terjadinya yang lain.

Beberapa contoh :

(1) Jika E = menyatakan suatu peristiwa terjadi, maka = menyatakan peristiwa itu tidak terjadi. Peristiwa-peristiwa E dan jelas saling eksklusif.

(2) E = pristiwa barang yang dihasilkan rusak, maka = barang yang dihasilkan tidak rusak. Dua peristiwa ini saling eksklusif.

(3) Mata uang logam, disebut muka G dan muka H. Lakukan undian, maka peristiwa-peristiwa muka G yang nampak dan muka H yang nampak merupakan dua peristiwa yang saling eksklusif.

(4) Undian dengan sebuah dadu yang bermuka enam, satu muka berisi sebuah titik (disebut muka bermata satu), muka kedua bermata dua, …, muka keenam bermata enam, maka salah satu muka akan nampak di sebelah atas. Kita dapatkan enam peristiwa yang semuanya saling eksklusif.

q Definisi ( Klasik):

Misalkan sebuah peristiwa E dapat terjadi sebanyak n kali diantara N peristiwa yang saling eksklusif dan masing-masing terjadi dengan kesepatan yang sama. Maka peluang peristiwa E terjadi adalah dan disingkat dengan P (E) =

Beberapa contoh :

(1) Undian dengan sebuah mata uang, seluruh peristiwa N = 2, jika E = muka G di atas maka n = 1. Untuk mata uang yang dibuat dari logam yang homogin, maka, P(E) = P (muka G di atas) = P(G) = ½ . Jelas bahwa, juga P(G) = P(H) = ½

(2) Sebuah dadu menghasilkan enam peristiwa, jadi N = 6. Jika E = muka bermata 4 di atas, maka n =1. Dadu yang homogin, maka peluang muka bermata 4 di atas = P(E) = P (mata 4) = 1/6. Dengan jalan yang sama didapat P(mata 1) = … = P(mata 6) = 1/6.

(3) Sebuah kotak berisi 20 kelereng yang identik kecuali warnanya. Terdapat 5 berwarna merah, 12 berwarna kuning dan sisanya berwarna hijau.

(4) Kelereng dalam kotak itu diaduk baik-baik lalu diambil sebuah tanpa melihat ke dalam kotak atau dengan mata ditutup. Maka peluang mengambil kelereng berwarna merah = dan peluang mengambil yang hijau =

q Definisi klasik bersifat samar-samar karena adanya perkataan : masing-masing terjadi dengan kesempatan yang sama, atau peluang yang sama.

q Definisi (Empirik):

Frekuensi relatif tentang terjadinya sebuah peristiwa untuk sejumlah pengamatan, maka peluang peristiwa itu adalah limit dari frekuensi relatif apabila jumlah pengamatan bertambah sampai tak hingga.

Beberapa contoh :

(1) Undian dengan sebuah mata uang yang homogin 1.000 kali; misalkan didapat muka G sebanyak 519 kali. Maka frekuensi relatif muka G = 0,519. Sekarang lakukan 2.000 kali dimana didapat muka G sebanyak 1.020 kali. Frekuensi relatifnya = 0,511. Jika dilakukan 5.000 kali dimana muka G terdapat 1.530, maka frekuensi relatifnya = 0,506. demikian diteruskan, nilai frekuensi relatif makin dekat kepada sebuah bilangan yang merupakan peluang untuk muka G yaitu 0,5. Maka P(G) = ½ diartikan bahwa setiap dua kali undian itu dilakukan cukup banyak dalam jangka waktu yang panjang dan kondisi yang sama.

(2) Produksi semacam barang diperiksa 500 dan terdapat yang rusak 22. Frekuensi relatif = 0,044. selanjutnya periksa 2.000 dimana terdapat yang rusak 82. Frekuensi relatifnya = 0,041. oses demikian seterusnya, maka peluang kerusakan barang yang diproduksi, misalnya 0,04. Hal ini sering pula dikatakan bahwa kerusakan hasil produksi 4% yang berarti : dalam proses produksi yang cukup lama dengan kondisi yang sama, maka 4 dari setiap 100 barang yang dihasilkan akan rusak.

Bagimana Aturan Peluang ?

q P(E) = , paling kecil n = 0, yakni peristiwa E tidak ada, dan paling besar n = N, yakni semua yang terjadi merupakan peristiwa E. Maka : 0 £ P(E) £ 1

q P(E) = 0, diartikan peristiwa E pasti tidak terjadi, P(E) = 1 diartikan peristiwa E pasti terjadi. Yang sering terjadi harga-harga P(E) antara 0 dan 1

q P(E) dekat sekali pada nol, diartikan bahwa peristiwa E praktis tidak terjadi dan P(E) dekat sekali pada satu, dikatakan bahwa peristiwa E praktis pasti terjadi.

q Definisi bahwa P(E) = , jika menyatakan bukan peristiwa E, P() = 1 – P(E) atau P(E) + P() = 1.

E dan dikatakan saling berkomplemen.

Contoh :

1) Dalam undian dengan sebuah dadu, misalnya E = mendapat muka 6 di sebelah atas. Maka P(E) = 1/6. Jelas bahwa = bukan mata 6 yang nampak di sebelah atas. Dalam hal ini yang nampak adalah mata 1 atau mata 2 atau …atau mata 5. tentulah P() = 5/6.

2) Kalau peluang mendapatkan hadiah = 0,61 maka peluang tidak mendapatkan hadiah 0,39.

q Jika k buah peristiwa E­1, E2, …, Ek saling eksklusif:

P(E1 atau E­2 atau … Ek) = P(E1) + P(E2) + …+ P(Ek)

Beberapa contoh :

(1) E dan saling eksklusif, P(E atau ) = P(E) + P() = 1.

berarti terjadi atau tidak terjadinya suatu peristiwa E adalah pasti.

(2) Undian dengan sebuah mata uang, muka G atau muka H yang nampak diatas, peristiwa ini saling eksklusif. Karenanya :

P (muka G atau muka H) = P(G atau H) = P(G) + (H) = 1.

(3) Ketika melakukan undian dengan sebuah dadu merupakan peristiwa-peristiwa yang saling eksklusif. Untuk dadu homogin, P (mata 1) = P (mata 2) = … = P (mata 6) = 1/6, maka P (mata 1 atau mata 2 atau … atau mata 6) = P (1) + (2) + …+ P (6) = 1.

(4) Kotak berisi 10 kelereng merah, 18 kelereng hijau dan 22 kelereng kuning, yang identik, diaduk dengan baik lalu seseorang yang matanya ditutup disuruh mengambil sebuah kelereng secara acak*)[1] Berapa peluangnya akan mengambil kelereng merah atau kuning ?

Jawab :

Misalkan A = mengambil kelereng merah

B = mengambil kelereng hijau

C = mengambil kelereng kuning, saling eklusif.

Maka: P(A) = = 0,2; P(B) = 0,36 dan P(C) = 0,44. atau

P (A atau C) = P (A) + P (C) = 0,2 + 0,44 = 0,64

Dilakukan dalam jangka waktu cukup lama, maka 64 dari setiap 100 kali terambil kelereng berwarna merah atau kuning.

(5) 200 lembar undian, sebuah hadiah pertama, 5 hadiah kedua, 10 hadiah ketiga dan sisanya tak berhadiah. Seseorang membelinya selembar. A = hadiah pertama, B = hadiah kedua, C = hadiah ketiga dan D = tak berhadiah yang saling eklusif. Maka P(A) = 0,005; P(B) = 0,025; P(C) = 0,05 dan P(D) = 0,92. didapat:

Peluang orang tersebut dapat hadiah ke-1 atau ke-2 = P (A atau B) = P(A) + P(B) = 0,005 + 0,025 = 0,03.

q Hubungan bersyarat. Dua peristiwa dikatakan mempunyai hubungan bersyarat jika peristiwa yang satu menjadi syarat terjadinya peristiwa yang lain, ditulis A untuk menyatakan peristiwa A terjadi dengan didahului terjadinya peristiwa B. P(A) dan disebut peluang bersyarat.

q Terjadinya atau tidak terjadinya peristiwa B tidak mempengaruhi terjadinya peristiwa A, maka A dan B disebut peristiwa-peristiwa bebas atau independen. A dan B untuk menyatakan peristiwa-peristiwa A dan B kedua-duanya terjadi. Maka berlaku

P (A dan B) = P (B) . P (A ).

q Jika A dan B independen P (A ) = P (A) didapat P(A dan B) = P (A) . P (B). Untuk k buah peristiwa E1, E2, …, Ek yang independen, maka:

P (E1 dan E2 dan …dan Ek) = P (E1) . P (E2) … P (Ek)

Beberapa contoh :

1) Undian sebuah mata uang sebanyak dua kali. Ambil A = nampak muka G pada undian pertama dan B = nampak muka G pada undian ke dua. Jelas A dan B dua peristiwa yang independen. Didapat : P (A dan B) = P(A) . P(B) = ½ . ½ = ¼

2) A menyatakan si Y akan hidup dalam tempo 30 tahun. B menyatakan si Z akan hidup dalam tempo 30 tahun. Diberikan P (A) = 0,65 dan P (B) = 0,52. Peluang si Y dan si Z dua-duanya akan hidup dalam tempo 30 tahun = (0,65) (0,52) = 0,338

3) Perhatikan contoh 4 ) di atas. Sekarang dikotak diambil kelereng dua kali, tiapkali sebuah kelereng. Kelereng yang telah diambil pertama kali tidak disimpan lagi kedalam kotak. Misalnya E = kelereng yang diambil pertama berwarna merah dan F = kelereng yang diambil kedua kali berwarna hijau. Peristiwa-peristiwa E dan F tidak independen. Jelas bahwa P(E) = 0,2 merupakan peluang kelereng berwarna merah pada pengambilan pertama, P(F ) = peluang kelereng pada pengambilan kedua berwarna hijau apabila kelereng pada pengambilan pertama berwarna merah.

P (F ) = sedangkan :

P ( E dan F) = P (E) . P (F ) = (0,2) (

Merupakan peluang kelereng merah pada pengam-bilan pertama dan hijau pada pengambilan kedua.

q Hubungan inklusif.

Untuk dua peristiwa A dan B yang mempunyai hubungan inklusif, berlaku hubungan : atau A atau B atau kedua-duanya terjadi, dan dirumuskan :

P(A + B) = P(A) + P(B) – P(A dan B)

A + B = hubungan inklusif antara peristiwa A dan peristiwa B.

Contoh :

Tumpukan kartu “bridge” ada 52 kartu terdiri dari atas 4 macam ialah : “spade”, “heart”, “diamond” dan “club”. Masing-masing 13 kartu bernomor 2, 3, …, 10, J, Q, K dan A. Jelas bahwa peluang menarik “spade”, menarik “heart” menarik “diamond” dan menarik “club” dari tumpukan kartu itu masing-msing 0,25. E = menarik kartu A dan F = menarik kartu “spade”. E dan F dua peristiwa yang tidak saling eksklusif, karena dapat menarik selembar kartu A dari “spade”. Peluang menarik sebuah kartu A atau sebuah “spade” adalah :

P (E + F) = P (E) + P(F) – P (E dan F)=

EKSPEKTASI ?

q Eksperimen yang menghasilkan k buah peristiwa dapat terjadi, masing-masing p1 , p2 , …, pk dan untuk tiap peristiwa dengan peluang tersebut terdapat satuan-satuan d1, d2, …, dk. bisa nol, positif ataupun negatif dan tentulah p1 + p2 + pk =1.

Maka ekspektasinya, E = p1 d1 + … + pk dk =

Artinya jika tiap peristiwa diberi nilai maka pukul rata diharapkan terdapat nilai sejumlah å pi di untuk eksperimen tersebut.

Contoh

(1) Si A dan Si B bertaruh dengan melakukan undian menggunakan mata uang. Jika nampak muka G, si A membayar kepada si B sebanyak Rp. 5,-. Jika nampak muka H, si B membayar Rp. 5,- kepada si A, P(A menang Rp. 5)= ½ , P(Akalah Rp. 5)= ½ sehingga:

E (untuk si A) = ½ (Rp 5) + ½ (- Rp 5) = Rp 0,-

Untuk si B juga berlaku hal yang sama.

(2) Produksi semacam barang rusak 6 %. Diambil sebuah sampel acak [2]*) terdiri atas 50 barang. Maka setiap sampel diharapkan rata-rata berisi 0,06 x 50 = 3 barang rusak.

*) Dengan ini diartikan tiap anggota obyek mempunyai kesempatan yang sama untuk diambil

*) Dengan ini dimaksudkan sebuah sampel dimana anggotanya diambil dari populasi dengan sifat bahwa setiap anggota populasi mempunyai kesempatan yang sama untuk dipilih menjadi anggota sampel